Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，左、右頂點分別為A、B，P是橢圓上一點，記直線PA、PB的斜率為k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于M、N兩點，以M、N為直徑的圓經(jīng)過原點，且線段MN的垂直平分線在y軸上的截距為-$\frac{1}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，設P（m，n），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，計算可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）將直線l：y=kx+m（k≠0）代入橢圓x²+2y²-2=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用韋達定理和中點坐標公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡整理，解方程可得k，m，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得c=1，即a²-b²=1，
設P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由題意可得A（-a，0），B（a，0），
即有k₁k₂=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）將直線l：y=kx+m（k≠0）代入橢圓x²+2y²-2=0，
可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
判別式為16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，
即有1+2k²＞m²，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
由題意OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（1+k²）•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+km（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）+m²=0，
化簡可得3m²=2+2k²，①
又MN的中點為（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
由MN的垂直平分線經(jīng)過點（0，-$\frac{1}{5}$），可得
垂直平分線的方程為y=-$\frac{1}{k}$x-$\frac{1}{5}$，
代入中點坐標可得$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$•（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$）-$\frac{1}{5}$，
化簡可得5m=1+2k²，②
由①②解得m=$\frac{5+\sqrt{37}}{6}$（負的舍去），k=±$\frac{\sqrt{57+15\sqrt{37}}}{6}$，
檢驗判別式大于0成立，
直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{57+15\sqrt{37}}}{6}$x+$\frac{5+\sqrt{37}}{6}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程以及直線的斜率公式，考查直線的方程的求法，注意聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及直線垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．