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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的
3
倍，過橢圓上一點Q作斜率分別為k1，k2的直線QA，QB交橢圓于A，B兩點，若點A，B關于原點對稱，則k1k2的值為
-
1
3
-
1
3
．
分析：設點Q（x，y），A（x1，y1），B（-x1，-y1），代入橢圓方程，利用斜率計算公式即可得出k1•k2．
解答：解：因為橢圓的長軸長是短軸長的
3
倍，即2a=
3
×2b，即a=
3
b，即橢圓方程為x2+3y2=3b2．
設點Q（x，y），A（x1，y1），B（-x1，-y1），代入橢圓方程x2+3y2=3b2，
得
x
2
1
+3
y
2
1
=3b2，
所以k1k2=
y-y1
x-x1
?
y+y1
x+x1
=
y2-
y
2
1
x2-
x
2
1
=
y2-
y
2
1
(3b2-3y2)-(3b2-3
y
2
1
)
=
y2-
y
2
1
3
y
2
1
-3y2
=-
1
3
．
故答案為：-
1
3
．
點評：本題主要考查理論直線與橢圓額位置關系，熟練掌握橢圓的標準方程及其對稱性、斜率計算公式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內心的橫坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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