Question

3．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD滿足AB∥CD，P在BA的延長線上，且PD²=PA•PB．若BD=2$\sqrt{2}$，PD=CD=2．
（Ⅰ）證明：∠PDA=∠CDB；
（Ⅱ）求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切線角定理得∠PDA=∠DBA，又AB∥CD，所以∠CDB=∠DBA，即可證明：∠PDA=∠CDB；
（Ⅱ）證明△PAD∽△BCD，求出AD，即可求BC的長．

解答 （Ⅰ）證明：由PD²=PA•PB知PD是圓的切線．
所以由弦切線角定理得∠PDA=∠DBA，
又AB∥CD，
所以∠CDB=∠DBA，
所以∠PDA=∠CDB（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠PDA=∠CDB，
又∠BCD=∠PAD，
所以△PAD∽△BCD，
所以$\frac{AD}{CD}=\frac{PD}{BD}$，
又$BD=2\sqrt{2}$，PD=CD=2，
所以$AD=\sqrt{2}$，
因為AB∥CD，
所以AD=BC=$\sqrt{2}$．（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．