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13.已知函數(shù)fx=ln1+2x+m1+2xmR
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方,求m的取值范圍;
(Ⅱ)若對任意的正整數(shù)n都有1+2nnae2成立,求a的最大值.

分析 (I)令f(x)>0,分離參數(shù)得m>-(1+2x)ln(1+2x),使用換元法求出右側函數(shù)的最大值即可得出m的范圍;
(II)將不等式化簡得(1-an)ln(1+2n)-2n≥0,則h(x)=(1-ax)ln(1+2x)-2x≥0在(0,1]上恒成立,對a進行討論,判斷h(x)的單調性得出h(x)的最小值,從而得出a的范圍.

解答 解:(I)∵函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方,∴l(xiāng)n(1+2x)+m1+2x>0在(-12,+∞)上恒成立,
∴m>-(1+2x)ln(1+2x)在(-12,+∞)上恒成立,
設1+2x=t,g(t)=-tlnt,(t>0),則g′(t)=-(1+lnt).
∴當0<t<1e時,g′(t)>0,當t>1e時,g′(t)<0,
∴g(t)在(0,1e)上低調遞增,在(1e,+∞)上單調遞減,
∴gmax(t)=g(1e)=1e,
∴m1e
(Ⅱ)∵(1+2nn-a≥e2,∴(n-a)ln(1+2n)≥2,即(1-an)ln(1+2n)-2n≥0.
令x=1n,h(x)=(1-ax)ln(1+2x)-2x,則h(x)≥0在(0,1]上恒成立.
h′(x)=-aln(1+2x)+21ax1+2x-2=-aln(1+2x)+a+21+2x-a-2.
h″(x)=-2a1+2x-2a+41+2x2=-4ax+a+11+2x2,
∴當a≤-1時,h″(x)≥0,∴h′(x)在(0,1]上是增函數(shù),∴h′(x)>h′(0)=0,
∴h(x)在(0,1]上是增函數(shù),∴h(x)>h(0)=0恒成立,符合題意;
當a≥0時,h″(x)<0,∴h′(x)在(0,1]上是減函數(shù),∴h′(x)<h′(0)=0,
∴h(x)在(0,1]上是減函數(shù),∴h(x)<h(0)=0恒成立,不符合題意;
當-1<a<0時,令h″(x)=0得x=-a+1a,設x0=min(1,-a+1a),則當0<x<x0時,h″(x)<0,
故而h′(x)在(1,x0)上為減函數(shù),
∴h′(x)<h′(0)=0,∴h(x)在(1,x0)上為減函數(shù),∴h(x)<h(0),不符合題意.
綜上,a≤-1.
所以a的最大值為-1.

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調性的關系,導數(shù)最值得計算,屬于難題.

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