Question

（1）求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
（2）已知-1≤x≤2，求函數(shù)f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)函數(shù)=，
t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
∴函數(shù)的值域是（0，9]；
在函數(shù)中，
∵，t=x²-2x-1的對稱軸是x=1，增區(qū)間是[1，+∞），減區(qū)間是（-∞，1]，
∴函數(shù)的增區(qū)間是（-∞，1]，減區(qū)間是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴，
∵f（x）=3+2•3^x+1-9^x
=3+6•3^x-（3^x）²
=-（3^x-3）²+12，
∴3^x=3時，f（x）取最大值12，
3^x=9時，f（x）取最小值-24．
分析：（1）設(shè)函數(shù)=，t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，由此能求出函數(shù)的值域；在函數(shù)中，，t=x²-2x-1的對稱軸是x=1，由此能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由-1≤x≤2，知，由f（x）=3+2•3^x+1-9=-（3^x-3）²+12，能求出函數(shù)f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．
點評：本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．