Question

已知三點(diǎn)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量（k為常數(shù)且0＜k＜2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S_△BOC表示△BOC的面積）
（1）求cos（β-γ）的最值及相應(yīng)的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值時(shí)，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知中的向量關(guān)系變形為等式的一邊有一個(gè)向量，將等式平方求出cos（β-γ）的函數(shù)式，分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求出范圍
（2）將k值代入向量等式求出三個(gè)向量的夾角，又三個(gè)向量的模相等，得到三個(gè)三角形全等，得到三角形的面積比．
解答：解：（1）由得
兩邊平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得
當(dāng)k∈（0，2）時(shí)，k²-2k∈[-1，0），，
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴
當(dāng)k=1時(shí)，cos（β-γ）取得最大值；
當(dāng)時(shí)，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值時(shí)，k=1
此時(shí)，且的夾角為120°．
又，
∴的夾角為120°．
故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則、兩角和的公式、分離常數(shù)求二次函數(shù)的值域、利用向量的數(shù)量積求出向量的夾角．