Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的兩個頂點分別為A(-1，0)，B(1，0)，坐標(biāo)平面內(nèi)兩點G，M同時滿足以下條件：①++=；②||=||=||；③∥.

(Ⅰ)求△ABC的頂點C的軌跡方程；

(Ⅱ)過點P(2，0)的直線l與△ABC的頂點C的軌跡交于E，F(xiàn)兩點，求·的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)點C(x，y)、G(x₀，y₀)，則++=用坐標(biāo)表示為(x-3x₀，y-3y₀)=0，從而x=3x₀，y=3y₀，G為△ABC的重心；由||=||和∥可知，點M的坐標(biāo)為(0，y₀)，結(jié)合||=||可得1+y₀²=x²+(y-y₀)²，整理即x²+=1，由于C(x，y)不能與AB共線(否則不能構(gòu)成三角形)，故頂點C的軌跡方程是x²+=1(y≠0)；

(Ⅱ)直線l的斜率為k(k≠0)，則方程為y=k(x-2)，與x²+=1聯(lián)立可得(3+k²)x²-4k²x+4k²-3=0，其判別式Δ=36(1-k²)＞0，所以-1＜k＜1(k≠0)，設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，由韋達定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，y₁=k(x₁-2)，從而·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=9(1-)，因為0＜k²＜1，則·=9(1-)∈(3，)，·的取值范圍是(3，).