Question

（2010•湖北模擬）函數(shù)f（x）=|x²-a|在區(qū)間[-1，1]上的最大值M（a）的最小值是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進行，結合二次函數(shù)的單調(diào)性及a的正負及

a

與1的大小分類討論求解M（a）

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進行；    1＞當0＜a＜1時，則
當a≤0時，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，M（a）=f（1）=|1-a|=1-a≥1
當a＞0時，函數(shù)f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增
所以f（x）在[0，

a

]內(nèi)的最大值為f（0）=a，而f（x）在[

a

，1]上的最大值為f（1）=1-a，
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜

1

2

當a∈（0，

1

2

）時，M（a）=f（1）=1-a，
同理，當a∈[

1

2

，1）時，M（a）=f（0）=a
當a≥1時，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，所以M（a）=f（0）=a
 當a≤0時，f（x）=|x²-a|=x²-a，在[0，1]上為增函數(shù)，所以M（a）=f（1）=1-a
綜上，M（a）=1-a，a＜

1

2

；   M（a）=a，a≥

1

2

，
所以M（a）在[0，

1

2

]上為減函數(shù)且在[

1

2

，1]為增函數(shù)
綜上易得M（a）的最小值為M（

1

2

）=

1

2

故選B

點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應用，其實由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通過比較f（0）與f（1）的大小得出M（a）的解析式從而求解