Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx）．
（1）若

b

⊥（

a

-

b

），且cosx≠0，求sin2x+sin（

5π

2

+2x）的值；
（2）若f（x）=

a

•

b

，求f（x）在[-

π

4

，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

b

⊥（

a

-

b

），得到

b

•（

a

-

b

）=0，即有sinxcosx=3cos²x，由cosx≠0，即tanx=3．再由誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將所求式子化為含正切的式子，代入即可得到；
（2）化簡(jiǎn)f（x），運(yùn)用二倍角公式，注意逆用，及兩角差的正弦公式，再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），
∴

a

•

b

=sinxcosx-cos²x，

b

2=2cos²x，
∵

b

⊥（

a

-

b

），∴

b

•（

a

-

b

）=0，
即有

a

•

b

=

b

2，
∴sinxcosx=3cos²x，
∵cosx≠0，∴sinx=3cosx，即tanx=3．
∴sin2x+sin（

5π

2

+2x）=sin2x+cos2x=

2sinxcosx+cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

2tanx+1-tan2x

1+tan2x

=

2×3+1-32

1+32

=-

1

5

；
（2）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx-cos²x=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

（sin2x+cos2x）-

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
由于x∈[-

π

4

，0]，則2x-

π

4

∈[-

3π

4

，-

π

4

]．
則有sin（2x-

π

4

）∈[-1，-

2

2

]，
故f（x）∈[-

1

2

-

2

2

，-1]，
則f（x）在[-

π

4

，0]上的最大值為-1，最小值為-

1

2

-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式及向量垂直的條件，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，注意運(yùn)用二倍角公式和兩角的和差公式，同時(shí)考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．