Question

已知：如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC=BC=BB₁.

(Ⅰ)求證：BC₁⊥AB₁；

(Ⅱ)求證：BC₁∥平面CA₁D；

(Ⅲ)求異面直線DC₁與AB₁所成角的余弦值．

Answer 1

方法一：(1)證明：AC⊥BC，AC⊥CC₁，

則AC⊥平面CC₁B₁B．

四邊形CC₁B₁B為正方形，連B₁C，則C₁B⊥B₁C．

由三垂線定理，得BC₁⊥AB₁

(Ⅱ)證明：連AC₁交CA₁于E，連DE．

在△AC₁B中，由中位線定理得DE∥BC₁

又DEC平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

∴BC₁∥平面CA₁D．

(Ⅲ)解：取BB1的中點(diǎn)F，連DF和C₁F，則DF∥AB₁，

∠C₁DF或它的補(bǔ)角為所求．

令A(yù)C=BC=BB₁=2．在Rt△FB₁C₁中可求出C₁F=，

在Rt△AB₁B中可求出AB₁=2，則DF=，

DC₁=．在△DFC₁中，由余弦定理，得

cos∠C₁DF=．

方法二：如圖建立坐標(biāo)系．設(shè)AC=BC=BB₁=2，則

A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A₁(2，0，0)B_l(0，2，0)，C₁(0，0，0)，D(1，1，2)．

(Ⅰ)證：=(0，-2，-2)，=(-2，2，-2)，

·=0-4+4=0．∴BC₁⊥AB₁

(Ⅱ)證：取A₁C的中點(diǎn)E，連DE.E(1，0，1)

則=(0，1，1)，=(0，-2，-2)．

有=-2．又ED與BC₁不共線，則DF∥AB₁

又DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D.

則BC₁∥平面CA₁D．

(Ⅲ) =(-2，2，-2)，=(-1，-1，-2)

∴cos＜，＞=.