【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.

1)求橢圓的方程;

2)若直線斜率的乘積為,兩直線分別與橢圓交于、、四點(diǎn),求四邊形的面積.

【答案】1;(2.

【解析】

1)設(shè),,,利用點(diǎn)差法求出直線的斜率為:,又直線的斜率為:,所以,得到,再結(jié)合,即可求出,,的值,從而求得橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn),,由題意可知,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易求四邊形的面積,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理代入,再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得,由橢圓的對(duì)稱性可知:四邊形的面積為,從而得到邊形的面積為

1)由題意可知,,設(shè),∴,

又∵點(diǎn)在橢圓上,∴,兩式相減得:,

,即直線的斜率為:,

又∵直線過(guò)右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn),∴直線的斜率為:

,∴,又∵,,∴,,∴橢圓的方程為:;

2)設(shè)點(diǎn),,

由題意可知,,即,①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然,

,又,∴,

∴四邊形的面積,

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為:,

聯(lián)立方程,消去得:,

,,

,∴,

整理得:,

由弦長(zhǎng)公式得:,

原點(diǎn)(0,0)到直線的距離,

,

由橢圓的對(duì)稱性可知:四邊形的面積為,

綜上所述,四邊形的面積為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求橢圓的方程;

2)若直線、斜率的乘積為,兩直線,分別與橢圓交于、、四點(diǎn),求四邊形的面積.

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n的值可能為2

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當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)ω,使得上單調(diào)遞增;

不等式恒成立

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為( )

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