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【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP為等邊三角形．

(1)當PB長為多少時，平面平面ABCD?并說明理由；

(2)若二面角大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）當時，平面平面，詳見解析（2）

【解析】

(1)根據平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得,利用直角三角形知識可得的長；

(2)構建空間直角坐標系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）當時，平面平面，

證明如下：在中，因為，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分別取線段的中點，連接，因為為等邊三角形，為的中點，所以，為的中點，所以,

又，所以，故為二面角的平面角，所以，

如圖，分別以的方向以及垂直于平面向上的方向作為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

因為，，所以，，，.

可得，，

設為平面的一個法向量，則有，

即，令，

可得，

設與平面所成角為，則有

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在2018、2019每高考數學全國Ⅰ卷中，第22題考查坐標系和參數方程，第23題考查不等式選講.2018年髙考結束后，某校經統計發(fā)現:選擇第22題的考生較多并且得分率也較高.為研究2019年選做題得分情況，該校高三質量檢測的命題完全采用2019年高考選做題模式，在測試結束后，該校數學教師對全校高三學生的選做題得分進行抽樣統計，得到兩題得分的統計表如下(已知每名學生只選做—道題):

第22題的得分統計表

得分

0

3

5

8

10

理科人數

50

50

75

125

200

文科人數

25

25

125

0

25

第23題的得分統計表

得分

0

3

5

8

10

理科人數

30

52

58

60

200

文科人數

5

10

10

5

70

(1)完成如下2×2列聯表，并判斷能否有99%的把握認為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關；

選做22題

選做23題

總計

理科人數

文科人數

總計

(2)若以全體高三學生選題的平均得分作為決策依據，如果你是考生，根據上面統計數據，你會選做哪道題，并說明理由.

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著移動互聯網的快速發(fā)展，基于互聯網的共享單車應運而生．某市場研究人員為了了解共享單車運營公司的經營狀況，對該公司最近六個月（2017年5月到2017年10月）內在西安市的市場占有率進行了統計，并繪制了相應的折線圖．

（1）由拆線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關系．求關于的線性回歸方程；

（2）公司對員工承諾如果公司的共享單車在2017年年底（12月底）能達到西安市場占有率的，員工每人都可以獲得年終獎，依據上面計算得到回歸方程估計員工是否能得到年終獎．

（參考公式：回歸直線方程為，其中）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于數列，如果存在正整數，使得對一切，都成立，則稱數列為等差數列．

（1）若數列為2-等差數列，且前四項分別為2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差數列，又是3-等差數列，證明：是等差數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]:在直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數，），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B．

(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設P(1，2)，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，點的坐標為.

（1）求過點且與圓相切的直線方程；

（2）過點任作一條直線與圓交于不同兩點，，且圓交軸正半軸于點，求證：直線與的斜率之和為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，D為AB的中點．

（1）與BC平行的平面PDE交AC于點E，判斷點E在AC上的位置并說明理由如下：

（2）若PA=PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC．

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