Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，且PD=AD=1．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面PCD，可得MN∥平面PCD；
（Ⅱ）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD．

解答： 證明：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME∥PD，NE∥CD，
∵M(jìn)E，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PCD，
∵M(jìn)N?平面MNE，
∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐P-ABCD中證明線面平行、面面垂直．著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明等知識(shí)，屬于中檔題．