Question

拋物線x²=-2y中斜率為2的平行弦（動(dòng)弦）的中點(diǎn)的軌跡方程是 ________．

Answer 1

x+2=0（y＜-2）
分析：設(shè)出直線方程和兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得b的范圍，同時(shí)根據(jù)韋達(dá)定理分別求得x₁+x₂的值，利用直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，設(shè)出AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得x=-2，同時(shí)根據(jù)b的范圍可確定y的范圍，最后可求得所求的軌跡方程．
解答：設(shè)直線方程為y=2x+b
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立拋物線x²=-2y與直線方程y=2x+b，
消去y，可得x²+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根據(jù)韋達(dá)定理有：x₁+x₂=-4 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線y=2x+b上，可分別代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b將②代入上式，可得：y₁+y₂=2b-8 ③
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示為：x=
y= 分別將②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由條件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M點(diǎn)（即動(dòng)弦AB中點(diǎn)）的軌跡方程時(shí)：x=-2這條直線位于y=-2之下的部分，
即軌跡方程x+2=0（y＜-2）
故答案為：x+2=0（y＜-2）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，求軌跡方程問題等．一般是把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得問題的解決的途徑．