Question

11．已知四面體ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為棱BC和AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求證：AD⊥BC；
（Ⅲ）點(diǎn)G在棱AB上，且滿足FG∥平面BCD，求點(diǎn)G在棱AB上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可證AE⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)即可證明AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）先證明BC⊥DE，由（1）知AE⊥BC，由判定定理可得BC⊥平面AED，由線面垂直的性質(zhì)即可證明BD⊥AD．
（Ⅲ）由線面平行的性質(zhì)定理可得FG∥BD，又F為棱AD的中點(diǎn)，可得G為棱AB的中點(diǎn)．

解答 證明：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC．
又∵平面ABC⊥平面BCD，AE?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）∵BD=CD，E為BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥DE．
由（1）知AE⊥BC，又AE∩DE=E，AE，DE?平面AED，
∴BC⊥平面AED，又AD?平面AED，
∴BD⊥AD．
（Ⅲ）∵點(diǎn)G在棱AB上，連接FG，由于FG∥平面BCD，
∴FG∥BD，
∵F為棱AD的中點(diǎn)，
∴G為棱AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，線面平行的性質(zhì)，考查了空間想象能力，推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．