Question

已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意，滿足，則正整數(shù)的取值個(gè)數(shù)是          

Answer 1

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分析：由條件對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，問題可以轉(zhuǎn)化為f（x）_max-f（x）_min＜1，因此求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．求最值時(shí)，利用換元法求解。
解答：
由題意，= cosα，=sinα(α∈[0，π/2]，
f(x)= cosα+sinα=sin(α +π/4)，
從而有f(x)_max= ，f(x)_min=，
∴-＜1解得a＜3+2，
∵a∈N^*，
∴a=1，2，3，4，5，
∴正整數(shù)的取值個(gè)數(shù)是5個(gè)。
點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，求解函數(shù)的最值運(yùn)用三角換元法，應(yīng)注意參數(shù)角的范圍。