(2012•茂名二模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,動點P在橢圓C1
x2
2
+y2=1上,動點Q是動圓C2:x2+y2=r2(1<r<2)上一點.
(1)求證:動點P到橢圓C1的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率;
(2)設(shè)橢圓C1上的三點A(x1,y1),B(1,
2
2
),C(x2,y2)與點F(1,0)的距離成等差數(shù)列,線段AC的垂直平分線是否經(jīng)過一個定點為?請說明理由.
(3)若直線PQ與橢圓C1和動圓C2均只有一個公共點,求P、Q兩點的距離|PQ|的最大值.
分析:(1)設(shè)動點P(x0,y0),則
x02
2
+y02=1
,根據(jù)兩點間距離公式、點到直線的距離公式即可計算得到右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率;
(2)由(1)結(jié)論可用離心率及點A、B、C橫坐標(biāo)表示|AF|、|BF|、|CF|,由其成等差數(shù)列可得x1+x2=2,由A,C在橢圓上得
x12
2
+y12=1
,
x22
2
+y22=1
,兩式相減整理得直線AC斜率,設(shè)線段AC的中點(m,n),由點斜式可得AC垂直平分線方程,由中點坐標(biāo)公式可把該垂直平分線方程化為知含參數(shù)n的方程,據(jù)此可得定點.
(3)易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線方程為y=kx+m,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由
y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ,由直線與橢圓相切得△=0,x1=-
2k
m
①,由直線PQ與圓C2相切,則
|m|
1+k2
=r
②,聯(lián)立①②可消掉m,由勾股定理可把|PQ|2表示為r的函數(shù),再用基本不等式可得其最大值;
解答:(1)證明:設(shè)動點P(x0,y0),則
x02
2
+y02=1
,
右焦點的距離與到直線x=2的距離之比為:
(x0-1)2+y02
|x0-2|
=
(x0-1)2+y02
(x0-2)2
=
(x0-1)2+1-
x02
2
(x0-2)2
=
2
2
,
而a=
2
,c=1,所以離心率e=
2
2
,
故動點P到橢圓C1的右焦點的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率;
(2)由(1)可得|AF|=
2
2
(2-x1)
,|BF|=
2
2
(2-1)
,|CF|=
2
2
(2-x2)

因為2|BF|=|AF|+|CF|,
所以
2
2
(2-x1)+
2
2
(2-x2)
=2×
2
2
(2-1)
,即得x1+x2=2,
因為A,C在橢圓上,故有
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
,兩式相減整理得:
kAC=
y2-y1
x2-x1
=-
x2+x1
2(y2+y1)
=-
1
y2+y1

設(shè)線段AC的中點(m,n),而m=
x1+x2
2
=1,n=
y1+y2
2
,
所以與直線AC垂直的直線斜率為kAC=y2+y1=2n,
則AC垂直平分線方程為y-n=2n(x-1),即y=n(2x-1)經(jīng)過定點(
1
2
,0);
(3)依題意知,直線PQ的斜率顯然存在,設(shè)直線方程為y=kx+m,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
由于直線方程PQ與橢圓C1相切,點P為切點,從而有
y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ,
故△=(4km)2-4×2(m2-1)(2k2+1)=0,從而可得m2=1+2k2,x1=-
2k
m
①,
直線PQ與圓C2相切,則
|m|
1+k2
=r
,得m2=r2(1+k2)②,
由①②得k2=
r2-1
2-r2
,且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+(1-
x12
2
)-r2
=1+
x12
2
-r2=1+
2k2
1+2k2
-r2=3-r2-
2
r2
≤3-2
2
=(
2
-1)2
,即|PQ|≤
2
-1,
當(dāng)且僅當(dāng)r2=
2
∈(1,4)
時取等號,
故P、Q兩點的距離|PQ|的最大值為
2
-1.
點評:本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系,考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析解決問題的能力,本題綜合性強,難度大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•茂名二模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
已知曲線C的參數(shù)方程為
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)),則曲線C上的點到直線x+y+2=0的距離的最大值為
3
2
2
+1
3
2
2
+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•茂名二模)已知函數(shù)f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3

(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•茂名二模)已知全集U=R,則正確表示集合M={0,1,2}和N={x|x2+2x=0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•茂名二模)長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3,4,x,且它的8個頂點都在同一球面上,這個球的表面積是125π,則x的值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•茂名二模)下列三個不等式中,恒成立的個數(shù)有( 。
①x+
1
x
≥2(x≠0);②
c
a
c
b
(a>b>c>0);③
a+m
b+m
a
b
(a,b,m>0,a<b).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案