Question

（2012•吉林二模）下列函數(shù)f（x）中，滿足“對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＞f（x₂）”的是（　　）

• A．f（x）=（x+1）²
• B．f（x）=ln（x-1）
• C．f(x)=

  1

  x

• D．f（x）=e^x

Answer 1

分析：根據(jù)題目所給條件，說明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上應(yīng)為減函數(shù)，其中選項(xiàng)A是二次函數(shù)，C是反比例函數(shù)，D是指數(shù)函數(shù)，圖象情況易于判斷，B是對數(shù)型的，從定義域上就可以排除．

解答：解：函數(shù)滿足“對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＞f（x₂）”，說明函數(shù)在（-∞，1）上為減函數(shù)．
f（x）=（x+1）²是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=-1，所以函數(shù)在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，+∞）單調(diào)遞增，不滿足題意．
函數(shù)f（x）=ln（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以函數(shù)在（-∞，0）無意義．
對于函數(shù)f（x）=

1

x

，設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，因?yàn)閤₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂0，x₂-x₁＞0，則

x2-x1

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）=

1

x

在（-∞，0）上為減函數(shù)．
函數(shù)f（x）=e^x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，解決此題的關(guān)鍵，是能根據(jù)題目條件斷定函數(shù)為（-∞，0）上的減函數(shù)．