Question

如圖，設(shè)A（2，4）是拋物線C：y=x²上的一點(diǎn)．
（1）求該拋物線在點(diǎn)A處的切線l的方程；
（2）求曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，從而可得該拋物線在點(diǎn)A處的切線l的方程；
（2）利用定積分可求曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積．

解答： 解：（1）∵y=x²，∴y′=2x-------------------------------2分
∴直線?的斜率k=y/|_x=2 =4---------------------------------------4分
∴l(xiāng)：y-4=4（x-2），即y=4x-4為所求．----------------7分，
（2）：法一：切線y=4x-4與x軸的交點(diǎn)為B（1，0），
則面積S=

∫

1 0

x2dx+

∫

2 1

[x2-(4x-4)]dx=

2

3

-------------------------------13分
法二：面積S=

∫

4 0

(

y

4

+1-

y

)dy=(

1

8

y2+y-

2

3

×y

2

3

)

.

4 0

=

2

3

，
∴曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及定積分的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．