Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．
我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為A，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為B．
（1）設函數(shù)f（x）=ax³-2（a-2）x²+（a-1）x（x＞0，a∈R）
①求證：當a=0時，f（x）∈A∩B；
②若f（x）∈A，且f（x）∉B，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）對定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），若f（x）∈B，且存在常數(shù)k使得?x∈（0，+∞），f（x）＜k，求證：f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）①當a=0時，y=$\frac{f（x）}{x}$=4x-1在（0，+∞）上為增函數(shù)；y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=4-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，即可證明f（x）∈A∩B；
②若f（x）∈A，且f（x）∉B，分別求出a的范圍，求交集，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）利用反證法先證明f（x）≤0對任意的x∈（0，+∞）成立，再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解，從而可是當f（x）∈B時，對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立．

解答 （1）①證明：當a=0時，f（x）=4x²-x（x＞0），
則y=$\frac{f（x）}{x}$=4x-1在（0，+∞）上為增函數(shù)；y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=4-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）∈A∩B；
②解：y=$\frac{f（x）}{x}$=ax²-2（a-2）x+（a-1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{2（a-2）}{2a}≤0}\end{array}\right.$，∴0＜a≤2；
y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=ax-2（a-2）+$\frac{a-1}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，y′=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴0≤a≤1，
∴0＜a≤1；
（2）證明：假設存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
記$\frac{f（{x}_{0}）}{{{x}_{0}}^{2}}$=m＞0，因為f（x）∈B，所以f（x）為“二階比增函數(shù)”，
即y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$是增函數(shù)，
所以當x＞x₀＞0時，$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$＞$\frac{f（{x}_{0}）}{{{x}_{0}}^{2}}$=m，即f（x）＞mx²；
所以一定存在x₁＞x₀＞0，使得f（x₁）＞mx₁²＞k成立，
這與f（x）＜k對任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0對任意的x∈（0，+∞）都成立；
再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解，
假設存在x₂＞0，使得f（x₂）=0；
∵f（x）為“二階比增函數(shù)”，即y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$是增函數(shù)，
∴一定存在x₃＞x₂＞0，使得$\frac{f（{x}_{3}）}{{{x}_{3}}^{2}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{{x}_{2}}^{2}}$=0成立，
這與上述的證明結(jié)果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上無解，
綜上所述，當f（x）∈B時，對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立

點評 本題考查了學生對新定義的接受與轉(zhuǎn)化運用的能力，同時考查了導數(shù)的綜合應用，屬于難題．