Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁、F₂，其一條漸近線方程為$y=\sqrt{2}x$，點P（$\sqrt{3}$，y₀）在雙曲線上．則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-1．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，可得b=2，求得c，將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得y₀²=2，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}$x，
由題意可得$\frac{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得b=2，
又c=$\sqrt{2+4}$=$\sqrt{6}$，
點P（$\sqrt{3}$，y₀）在雙曲線上，可得$\frac{3}{2}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
即有y₀²=2，
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，-y₀）•（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，-y₀）
=（-$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）+y₀²=3-6+2=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查雙曲線的漸近線方程的運用，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．