Question

設(shè)an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，是否存在整式g（n）使得a₁+a₂+…+a_n-1=g（n）•（a_n-1）對(duì)不小于2的一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：進(jìn)而求得an-an-1=

1

n

(n≥2) 最后（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2=na_n-n=n（a_n-1），判斷存在關(guān)于n的整式g（n）=n

解答：解：由題意，an-an-1=

1

n

(n≥2)，∴na_n-（n-1）a_n-1=a_n-1+1，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2=a_n-2+1，…，2a₂-a₁=a₁+1，疊加得：a₁+a₂+…+a_n-1=n（a_n-1），對(duì)不小于2的一切自然數(shù)n都成立，g（n）=n
故存在關(guān)于n的整式g（x）=n，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立．
下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，左邊a₁=1，右邊=2×（a₂-1）=1，此時(shí)等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k，（k＞2）成立，即a₁+a₂+…+a_k-1=k（a_k-1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=k（a_k-1）+a_k=（k+1）a_k-k=（k+1）（a_k-

k

k+1

）=（k+1）（a_k+1-1）成立．
即由①②知，等式對(duì)任意的n＞2，都恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．即數(shù)列與不等式相結(jié)合的問(wèn)題考查，考查了學(xué)生綜合思維能力．