Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+b（ω＞0）的最小正周期為π，最大值為2$\sqrt{2}$．
（1）求實數(shù)ω，b的值，并寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；
（2）是否存在x∈[0，π]，滿足f（x）=2$\sqrt{2}$，若存在，求出x的值；若不存在，說明理由；
（3）求函數(shù)F（x）=f（x）-f（x-$\frac{π}{4}$）的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的最小正周期與最大值，直接寫出ω、b的值，得出f（x）的解析式；
（2）令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$求出x的值，判定是否滿足f（x）=2$\sqrt{2}$即可；
（3）化簡函數(shù)F（x），根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出它的最大、最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+b（ω＞0）的最小正周期為π，最大值為2$\sqrt{2}$；
∴ω=2，b=$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$；
（2）當x∈[0，π]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
∴x∈[0，π]時，能滿足f（x）=2$\sqrt{2}$；
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{8}$，此時f（x）=2$\sqrt{2}$；
（3）函數(shù)F（x）=f（x）-f（x-$\frac{π}{4}$）
=[$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]-[$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$（sin2xcos$\frac{π}{4}$+cos2xsin$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$（sin2xcos$\frac{π}{4}$-cos2xsin$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$cos2xsin$\frac{π}{4}$
=2cos2x，
∴F（x）的最大值2、最小值-2．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目．