Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0，（n≥2，n∈N），a₁=1，前n項和為S_n的數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n=

2an-anan-1

1-2anan-1

（n≥2，n∈N），又c_n=

Sn-1

bn

（n≥2，n∈N）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：2≤(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)＜

8

3

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0，變形可得

1

an

=2×

1

an-1

+1⇒

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)，即得數(shù)列{

1

an

+1}是等比數(shù)列，即可求得結(jié)論；
（2）由題意可得1+

1

cn

=1+

bn

Sn-1

=

Sn-1+bn

Sn-1

=

Sn

Sn-1

（n≥2，n∈N），故只需證2≤Sn＜

8

3

，故利用放縮法求得s_n的范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由條件得a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0⇒a_n-1=2a_n+a_na_n-1，易知a_n≠0，兩邊同除以a_na_n-1得

1

an

=2×

1

an-1

+1⇒

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)，
又

1

a1

+1=2，故

1

an

+1=2n⇒an=

1

2n-1

（n∈N^*），
（2）因為：1+

1

cn

=1+

bn

Sn-1

=

Sn-1+bn

Sn-1

=

Sn

Sn-1

（n≥2，n∈N），
所以(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)=

S2

S1

×

S3

S2

×…×

Sn-1

Sn-2

×

Sn

Sn-1

=

Sn

S1

=Sn，
故只需證2≤Sn＜

8

3

，
由條件bn=

2 2n-1 - 1 2n-1 × 1 2n-1-1

1-2× 1 2n-1 × 1 2n-1-1

=

2n-3

(2n-1)(2n-1-1)-2

＜

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

＜

2n

(2n-1)(2n-1-1)

=2(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)（n≥2，n∈N）
一方面：當(dāng)n=2時S2=2＜

8

3

當(dāng)n≥3，n∈N時，S_n=b₁+b₂+…+b_n≤1+1+2(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+2(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2+

2

3

-

1

2n-1

＜

8

3

，
另一方面：當(dāng)n≥2，n∈N時，b_n＞0所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≥1+1=2
所以當(dāng)n≥2，n∈N時2≤(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)＜

8

3

．

點評：本題數(shù)列與不等式的綜合性問題，主要考查學(xué)生對等比數(shù)列的定義及求和公式的掌握運用能力，考查學(xué)生的運算求解能力，邏輯性強，屬于難題．