Question

8．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點的縱坐標之積為-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點D的坐標為（4，0），若過D和B兩點的直線交拋物線C的準線于P點，求證：直線AP與x軸交于一定點．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，聯立方程組，根據A，B兩點的縱坐標之積為-4，即可求出p的值，
（2）表示出直線BD的方程可表示為，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①，拋物線C的準線方程為，x=-1②，構成方程組，解得P的坐標，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點坐標即可．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$
與拋物線的方程聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=my+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得y²-2mpy-p²=0，
∴y₁•y₂=-p²=-4，
解得p=±2，
∵p＞0，
∴p=2，

（2）依題意，直線BD與x軸不垂直，∴x₂=4．
∴直線BD的方程可表示為，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵拋物線C的準線方程為，x=-1②
由①，②聯立方程組可求得P的坐標為（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
由（1）可得y₁y₂=-4，
∴P的坐標可化為（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$），
∴k_AP=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$，
∴直線AP的方程為y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}{y}_{1}^{2}$-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$
∴直線AP與x軸交于定點（$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．