Question

設函數(shù)h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e為自然對數(shù)的底）．
（1）求函數(shù)F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問：函數(shù)h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴
當x=時，F(xiàn)^′（x）=0，當0＜x＜時，F(xiàn)^′（x）＜0，當x＞時，F(xiàn)^′（x）＜0
∴F（x）在處取得極小值0．
（2）由（1）知當x＞0時，h（x）≥φ（x），
若存在隔離直線，則對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，
∵兩個函數(shù)的圖象有公共點，
∴隔離直線必過（，e）
設直線的方程是y-e=k（x-）
∴h（x）≥kx+e-k恒成立，
∴△≤0
∴k=2
令G（x）=φ（x）-2x+e
對函數(shù)求導有當x＞時，F(xiàn)^′（x）＜0，當0＜x＜時，F(xiàn)^′（x）＜0
∴當 時有G（x）的極大值 為0，也就是最大值為0．
從而G（x）≤0，即 恒成立．
故函數(shù)h（x） 和φ（x） 存在唯一的“隔離直線”．
分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)，對函數(shù)求導，使得導函數(shù)等于0，驗證可能的極值點兩側(cè)導函數(shù)的符合相反，得到函數(shù)存在極值．
（2）由題意知若存在隔離直線，則對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，兩個函數(shù)的圖象有公共點，設出直線的方程，根據(jù)函數(shù)的恒成立得到k的值，求出函數(shù)的極大值，得到結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據(jù)導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的極值，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細．