Question

在特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的5海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正南30海里處有一個(gè)雷達(dá)觀(guān)測(cè)點(diǎn)A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)行駛的船只位于點(diǎn)A南偏東45°且與點(diǎn)A相距20

2

海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A南偏東45°+θ（其中cosθ=

5

26

，0＜θ＜

π

2

）且與點(diǎn)A相距5

13

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/時(shí)）；
（2）若該船不改變方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域；若會(huì)，試求從C點(diǎn)到進(jìn)入警戒水域，船還要行駛多長(zhǎng)時(shí)間，若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）利用余弦定理求出BC，即可求該船的行駛速度；
（2）以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E（0，30）到直線(xiàn)BC的距離為d=2

5

＜5所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域，求出GC，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）如圖：AB=20

2

，AC=5

13

，∠BAC=θ，cosθ=

5

26

，0＜θ＜

π

2

∴sinθ-

1

26

…（1分）
由余弦定理得BC=5

5

…（4分）
所以船的行駛速度為5

5

÷

2

3

=

15 5

2

（海里/小時(shí)）…（5分）
（2）如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC與x軸的交點(diǎn)為D．…（6分）
由題設(shè)有，x₁=20，y₁=-20，x₂=ACcos∠CAD=15，y₂=-ABsin∠CAD=-10…（8分）
所以過(guò)點(diǎn)B，C的直線(xiàn)l的斜率-2，直線(xiàn)l方程為：y=-2x+20，…（9分）
又點(diǎn)E（0，30）到直線(xiàn)BC的距離為d=2

5

＜5
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
又設(shè)直線(xiàn)BC上點(diǎn)G（x，20-2x）到點(diǎn)E距離為5．…（10分）
則（x-0）²+（20-2x-30）²=25，
∴x=-3或-5…（11分）
由圖形易知G（-3，26），則GC=18

5

…（12分）
所以從C點(diǎn)到進(jìn)入警戒水域，船還要行駛18

5

÷

15 5

2

=2.4（小時(shí)）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．考查學(xué)生的運(yùn)算能力、綜合考慮問(wèn)題的能力．