Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點M，使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點，且${k_{AB}}{k_{AD}}=-\frac{3}{4}$恒成立？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點A（2，0），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（m，0），直線l的方程設(shè)為x=ky+m，與橢圓的方程聯(lián)立，得（k²+4）y²+2kmy+m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線的斜率公式，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出x軸上存在定點M（1，0），使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點，且${k_{AB}}{k_{AD}}=-\frac{3}{4}$恒成立．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點A（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{a=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（m，0），
直線l的方程設(shè)為x=ky+m，
與橢圓的方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（k²+4）y²+2kmy+m²-4=0
△＞0，${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}，{y_1}+{y_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$，
從而${k_{AB}}{k_{AD}}=-\frac{3}{4}⇒\frac{y_1}{{{x_1}-2}}•\frac{y_2}{{{x_2}-2}}=-\frac{3}{4}$，
整理得：$\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}（3{k^2}+4）-3k（m-2）\frac{2km}{{{k^2}+4}}+3{（m-2）^2}=0$，
解得：m=2（舍去）或m=1
故在x軸上存在定點M（1，0），使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點，且${k_{AB}}{k_{AD}}=-\frac{3}{4}$恒成立．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線的斜率公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．