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9.已知函數(shù)f(x)=x3-mx,直線l1∥l2,l1與函數(shù)f(x)圖象切于點A、交于點B,l2與函數(shù)f(x)圖象切于點C、交于點D.
(1)求證:四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)若四邊形ABCD為矩形,求m的取值范圍;
(3)若四邊形ABCD為正方形,求m的值.

分析 (1)設(shè)A(x1,f(x1)),C(x2,f(x2)),求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),運用兩直線平行的條件,可得斜率相等,求得l1的方程,聯(lián)立函數(shù),解方程可得B的坐標(biāo),運用對稱思想,即可得證;
(2)若四邊形ABCD為矩形,即有AB⊥AD,即為kAB•kAD=-1,運用直線的斜率公式,化簡整理可得21x14-10mx12+m2+1=0,令t=x12,則21t2-10mt+1+m2=0,運用方程有正數(shù)解的條件,解不等式即可得到所求范圍;
(3)四邊形ABCD為正方形,則AB⊥AD,且AC⊥BD,運用兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,解方程即可得到所求m的值.

解答 解:(1)證明:設(shè)A(x1,f(x1)),C(x2,f(x2)),
由函數(shù)f(x)=x3-mx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-m,
又線l1∥l2,可得在x=x1處的切線和x=x2處的切線的斜率相等,
即為3x12-m=3x22-m,化簡可得x2=-x1,
即有C(-x1,f(-x1)),即A,C關(guān)于原點對稱,
可設(shè)l1的方程為y-f(x1)=(3x12-m)(x-x1),
聯(lián)立函數(shù)y=x3-mx,消去y,可得,(x-x12(x+2x1)=0,
解得x=x1,或x=-2x1,
即有B(-2x1,f(-2x1)),
將x1,換為-x1,可得D(2x1,f(2x1)),
即B,D關(guān)于原點對稱,可得四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)若四邊形ABCD為矩形,即有AB⊥AD,
即為kAB•kAD=-1,即fx1f2x13x1fx1f2x1x1=-1,
化簡可得(3x12-m)(7x12-m)=-1,
即為21x14-10mx12+m2+1=0,
令t=x12,則21t2-10mt+1+m2=0,(*)
由(*)有正數(shù)解,可得1+m2>0,5m21>0,△=100m2-4×21(1+m2)≥0,
解得m≥212
(3)四邊形ABCD為正方形,則AB⊥AD,且AC⊥BD,
由AB⊥AD,由(2)可得21x14-10mx12+m2+1=0,①
由AC⊥BD,可得kAC•kBD=-1,
即有fx1x1f2x12x1=-1,化簡可得4x14-5mx12+m2+1=0,②
由①②解得x12=517m,代入①,可得m=176(負(fù)的舍去).

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線的方程,考查兩直線平行和垂直的條件,同時考查四邊形為平行四邊形和矩形、正方形的條件,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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