Question

1．某人經(jīng)營一個抽獎游戲，顧客花費2元可購買一次游戲機會，每次游戲中，顧客從裝有1個人黑球，3個紅球，6個白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3個球（除顏色外其他都相同），根據(jù)摸出的球的顏色情況進行兌獎，顧客獲得一等獎、二等獎、三等獎、四等獎時分別可領(lǐng)取獎金a元、10元、5元、1元．若經(jīng)營者將顧客摸出的3個球的顏色情況分成以下類別：A：1個黑球2個紅球；B：3個紅球；C：恰有1個白球；D：恰有2個白球；E：3個白球．且經(jīng)營者計劃將五種類別按照發(fā)生機會從小到大的順序分別對應中一等獎、中二等獎、中三等獎、中四等獎、不中獎五個層次．
（1）請寫出一至四等獎分別對應的類別（寫出字母即可）；
（2）若經(jīng)營者不打算在這個游戲的經(jīng)營中虧本，求a的最大值；
（3）若a=50，當顧客摸出的第一個球是紅球時，求他領(lǐng)取的獎金的平均值．

Answer 1

分析 （1）分別求出A、B、C、D、E的概率，由此能求出一至四等獎分別對應的類別．
（Ⅱ）設(shè)顧客進行一次游戲營者可盈利x元，利用離散型隨機離題分布列的性質(zhì)和數(shù)學期望能求出a的最大值．
（Ⅲ）a=50，當顧客摸出的第一個球是紅球時，分別求出他中一等獎、二等獎、中三等金、中四等獎的概率，由此能求出他領(lǐng)取的獎金的平均值．

解答 解：P（A）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{120}$，
P（B）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
P（C）=$\frac{{C}_{6}^{1}（{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{2}）}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$，
P（D）=$\frac{{C}_{6}^{2}（{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}）}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$，
P（E）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{20}{120}$，
∵P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D）．
按照發(fā)生機會從小到大的順序分別對應中一等獎、中二等獎、中三等獎、中四等獎、不中獎五個層次，
∴一至四等獎分別對應的類別是B、A、E、C．
（Ⅱ）設(shè)顧客進行一次游戲營者可盈利x元，則：

X	-（a-2）	-8	-3	1	2
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{3}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{36}{120}$	$\frac{60}{120}$

∴$\frac{1}{{C}_{10}^{2}}$（-a+2-24-60+36+120）≥0，
∴a≤74，即a的最大值為74元．
（Ⅲ）a=50，當顧客摸出的第一個球是紅球時，
中一等獎的概率p₁=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，中二等獎的概率p₂=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{36}$，
中三等獎的概率p₃=0，中四等獎的概率${p}_{4}=\frac{{C}_{6}^{1}（{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}）}{{C}_{9}^{2}}=\frac{18}{36}$，
∴他領(lǐng)取的獎金的平均值E（X）=$\frac{1}{36}$（50×1+10×2+0+1×18）=$\frac{22}{9}$元．
∴他領(lǐng)取的獎金的平均值為$\frac{22}{9}$．

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應用，在歷年高考中都是必考題型，是中檔題．