Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）若a=-2，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若a=1，函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）若-2≤x≤1時(shí)，-2≤f（x）≤4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)f（x）=故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[-2，-1]
（2）當(dāng)a=1時(shí)f（x）=在直角坐標(biāo)系中做出f（x）的圖象（如下圖）
要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)即使f（x）-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)根即y=f（x）與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
故m=0或
（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)則f（x）≥0恒成立故要使-2≤x≤1時(shí)，-2≤f（x）≤4恒成立須有f（x）_max≤4即
∴0≤a≤4
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)則f（x）＜0恒成立故要使-2≤x≤1時(shí)，-2≤f（x）≤4恒成立須有f（x）_min≥-2即
∴
綜上：0≤a≤4或
分析：（1）利用絕對值的意義可得當(dāng)a=-2時(shí)f（x）=再利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性即可寫出遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)零點(diǎn)的定義可得要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)即使f（x）-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)根即y=f（x）與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)因此需做出f（x）的圖象再利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
（3）由于f（x）的正負(fù)取決于x故可分0≤x≤1，-2≤x＜0兩種情況，然后再結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大最小值再令f（x）_max≤4且f（x）_min≥-2求出a的范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)的概念，以及恒成立的問題．解題的關(guān)鍵是第一問要根據(jù)絕對值的意義簡化f（x）再利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求解．第二問要將a=1，函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)然后利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．而第三問要分析出-2≤x≤1時(shí)，-2≤f（x）≤4恒成立即f（x）_max≤4且f（x）_min≥-2而再求最大最小值時(shí)要利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)0≤x≤1時(shí)f（x）的最大值要么在要么在1取得，當(dāng)-2≤x＜0時(shí)則f（x）的最小值要么在要么在-2取得！