Question

3．知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+ax為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解關于x的不等式f（2x-1）＜f（x+1）．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程進行求解即可，
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可，
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
則$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$-ax=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+ax，即-a=a，得a=0．
（2）∵a=0，∴f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
證明：設x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$$-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$；
∵0≤x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由f（x）是偶函數(shù)且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴不等式f（2x-1）＜f（x+1）等價為f（|2x-1|）＜f（|x+1|）．
即|2x-1|＜|x+1|，
平方得4x²-4x+1＜x²+2x+1．
即x²-2x＜0，即0＜x＜2，
即不等式的解集為（0，2）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進行證明是解決本題的關鍵．