設(shè)不等式x-x2≥0的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,試比較a3+b3與a2b+ab2的大。
(3)當(dāng)x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,求m的取值范圍.
分析:(1)求出不等式x-x2≥0的解集確定出集合M,
(2 )將兩個(gè)式子作差變形,通過提取公因式化為完全平方與一個(gè)常數(shù)的積的形式,判斷符號(hào),得出大小關(guān)系.
(3)當(dāng)x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,轉(zhuǎn)化為f(x)=x(m2-1)-(2m-1)>0恒成立,由于x∈[0,1],故等價(jià)于
f(0)>0
f(1)>0
,解之即可得m的取值范圍.
解答:解:(1)原不等式即為x(1-x)≥0,所以0≤x≤1(4分)
所以不等式的解集M=[0,1](6分)
(2)a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),
由(1)知a,b為正數(shù),
∴(a-b)2≥0,a+b>0,∴(a-b)2(a+b)≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2
(3)當(dāng)x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,轉(zhuǎn)化為f(x)=x(m2-1)-(2m-1)>0恒成立,
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),等價(jià)于
f(0)>0
f(1)>0
1-2m>0
m2-2m>0
,?m<0.
可得m的取值范圍是(-∞,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查一元二次不等式的解法,函數(shù)恒成立問題,不等關(guān)系與不等式等.用作差的方法比較兩個(gè)式子的大小,注意將差化為因式積的形式,以便于判斷符號(hào).
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設(shè)不等式|x-2|>1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b>0的解集相同.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值,以及取得最大值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•嘉定區(qū)三模)設(shè)f(x)=
x2-2x-1 , x≥0 
-2x+4 , x<0 .
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(-∞,0)∪(3,+∞)
(-∞,0)∪(3,+∞)

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設(shè)不等式x-x2≥0的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,試比較a3+b3與a2b+ab2的大。
(3)當(dāng)x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,求m的取值范圍.

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設(shè)不等式x-x2≥0的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,試比較a3+b3與a2b+ab2的大。
(3)當(dāng)x∈M,不等式2m-1<x(m2-1)恒成立,求m的取值范圍.

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