Question

己知曲線C₁：y=e^x與C₂：y=-

1

ex

，若C₁、C₂分別在點(diǎn)P₁、P₂處的切線是同一條直l，則直線l的方程為

y=x

．

Answer 1

分析：曲線C₁：y=e^x與C₂：y=-

1

ex

，故曲線C₁中：y′=e^x與C₂中：y′=

1

ex

，若存在相同切線，則ex1=e-x2，由此能求出切線為y=x．

解答：解：∵曲線C₁：y=e^x與C₂：y=-

1

ex

，
∴曲線C₁中：y′=e^x與C₂中：y′=

1

ex

，
∵曲線C₁：y=e^x與C₂：y=-

1

ex

，若C₁、C₂分別在點(diǎn)P₁、P₂處的切線是同一條直線l，
∴ex1=e-x2，
又∵e^x是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以x₁=-x₂，即x₁、x₂關(guān)于y軸對稱．因?yàn)榍芯�過x₁，x₂，
即過點(diǎn)（x₁，ex1），（x₂，-

1

ex2

）=（-x₁，-ex1），
所以切線過原點(diǎn)，可設(shè)其為y=kx．
k=y'=ex1，將k=ex1，y=ex1，x=x₁帶入y=kx，解出x₁=1，
所以切線為y=x
故答案為：y=x．

點(diǎn)評：本題考查曲線的幾何意義的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．