Question

6．一個(gè)袋子中有k個(gè)紅球，4個(gè)綠球，2個(gè)黃球，這些球除顏色外其他完全相同．從中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，每取得1個(gè)紅球記1分、取得1個(gè)綠球記2分、取得1個(gè)黃球記5分，用隨機(jī)變量X表示取到2個(gè)球的總得分，已知總得分是2分的概率為$\frac{1}{12}$．
（Ⅰ）求袋子中紅球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)取到的2個(gè)球都是紅球時(shí)，總得分是2分，從而$P（X=2）=\frac{C_k^2}{{C_{k+6}^2}}=\frac{1}{12}$，由此能求出袋子中有3個(gè)紅球．
（Ⅱ）依題意，X的所有可能取值為2，3，4，6，7，10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本題13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)取到的2個(gè)球都是紅球時(shí)，總得分是2分，
即$P（X=2）=\frac{C_k^2}{{C_{k+6}^2}}=\frac{1}{12}$，…（2 分）
化簡(jiǎn)得11k²-23k-30=0，即（k-3）（11k+10）=0，…（3 分）
解得k=3或$k=-\frac{10}{11}$（舍去）．
故袋子中有3個(gè)紅球．…（4 分）
（Ⅱ）依題意，X的所有可能取值為2，3，4，6，7，10．…（5 分）
$P（X=2）=\frac{1}{12}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_4^1}{C_9^2}=\frac{3×4}{36}=\frac{1}{3}$，
$P（X=4）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，
$P（X=6）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{3×2}{36}=\frac{1}{6}$，
$P（X=7）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{4×2}{36}=\frac{2}{9}$，
$P（X=10）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$．…（10分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4	6	7	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{36}$

…（11分）
$E（X）=2×\frac{1}{12}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{6}+6×\frac{1}{6}+7×\frac{2}{9}+10×\frac{1}{36}=\frac{14}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．