在極坐標(biāo)系Ox中,已知曲線C1:ρcos(=,C2:ρ=1(0≤θ≤π),C3,設(shè)C1與C2交于點(diǎn)M
(I)求點(diǎn)M的極坐標(biāo);
(II)若動(dòng)直線l過點(diǎn)M,且與曲線C3交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,求的最小值.
【答案】分析:(I)把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,解方程組求得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0),從而求得它的極坐標(biāo).
(II)設(shè)動(dòng)直線l的參數(shù)方程為 ,代入曲線C3的方程整理,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得t1+t2和t1•t2的值,再由|MA|•|MB|=|t1•t2|,|AB|=
,求出=,由此求得它的最小值.
解答:解:(I)曲線C1:ρcos(=,即 x-y=1,C2:ρ=1(0≤θ≤π),即 x2+y2=1(y≥0).
 由求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0),故它的極坐標(biāo)為(1,0).
(II)設(shè)動(dòng)直線l的參數(shù)方程為 ,代入曲線C3的方程整理可得 (3sin2α+cos2α)t2+2cosα•t-2=0,
設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則 t1+t2=,t1•t2=
∴|MA|•|MB|=|t1•t2|=,|AB|==
=
∵0≤α≤π,∴0≤sin2α≤1,故的最小值為 =
點(diǎn)評(píng):本題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
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(1)幾何證明選講:如圖,CB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,A為切點(diǎn),AP與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若PA=8,PB=4,求AC的長(zhǎng)度.
(2)坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在極坐標(biāo)系Ox中,已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)
=
2
2
與曲線C2;ρ=1相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度.
(3)不等式選講:解關(guān)于x的不等式|x-1|+a-2≤0(a∈R).

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在極坐標(biāo)系Ox中,已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)
=
2
2
,C2:ρ=1(0≤θ≤π),C3
1
ρ2
=
cos2θ
3
+sin2θ
,設(shè)C1與C2交于點(diǎn)M
(I)求點(diǎn)M的極坐標(biāo);
(II)若動(dòng)直線l過點(diǎn)M,且與曲線C3交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,求
|MA|•|MB|
|AB|
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖南師大附中高三第六次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(1)幾何證明選講:如圖,CB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,A為切點(diǎn),AP與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若PA=8,PB=4,求AC的長(zhǎng)度.
(2)坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在極坐標(biāo)系Ox中,已知曲線=與曲線C2;ρ=1相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度.
(3)不等式選講:解關(guān)于x的不等式|x-1|+a-2≤0(a∈R).

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