Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點(diǎn)，AB=BC=PA．
（I）求證：PA⊥B₁C；
（II）求PA與平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出

AP

、

B1C

，只要證明

AP

•

B1C

=0即可．
（Ⅱ）取平面ABB₁A₁的法向量

n

，利用公式則sinθ=|cos＜

AP，

n

＞|=

| AP • n |

| AP | | n |

求出即可．

解答：解：由題意可以建立以下空間直角坐標(biāo)系：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BC、BB₁所在的直線為x軸、y軸、z軸．如圖所示：設(shè)|BA|=2，|BB₁|=z，則B（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），B₁（0，0，z），A₁（2，0，z），C₁（0，2，z），∴線段A₁C₁的中點(diǎn)P（1，1，z），
∴

AP

=(-1，1，z)．
∵|PA|=|AB|=2，∴

1+1+z2

=2，解得z=

2

．即B₁（0，0，

2

），A₁（2，0，

2

），C1(0，2，

2

)．
（Ⅰ）∵

AP

=(-1，1，

2

)，

B1C

=(0，2，-

2

)，
∴

AP

•

B1C

=2-2=0，∴

AP

⊥

B1C

，即AP⊥B₁C．
（Ⅱ）設(shè)PA與平面ABB₁A₁所成角為θ，(0＜θ≤

π

2

)．
取平面ABB₁A₁的法向量

n

=(0，1，0)，
則sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=

| AP • n |

| AP | | n |

=

1

2

．
∴θ=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積和平面的法向量是解決此類問題的通法，應(yīng)熟練掌握．