Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-$\frac{1}{2}$x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點（0，f（0））的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-ln（x+1），當x∈[0，+∞）時，h（x）≤$\frac{1}{2}$x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出．
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），h（x）≤$\frac{1}{2}$x恒成立，則f（x）-g（x）≤0恒成立，g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），只需g（x）_max≤0，分類討論后，綜合討論結(jié)果可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=0，所以切點為（0，0），
∵f′（x）=2ax-$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{x+1}$，
∴f′（0）=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴所求切線方程為y=$\frac{3}{2}$x，
（Ⅱ）由題設(shè)，當x∈[0，+∞）時，不等式ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，
由g′（x）=2ax+$\frac{1}{a+1}$-1=$\frac{x（2ax+2a-1）}{x+1}$，
（1）當a=0時，g′（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
當x＞0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）_max=g（0）=0，滿足條件，
（2）當a＞0時，令g′（x）=$\frac{[2ax+（2a-1）]}{x+1}$=0，解得x=$\frac{1}{2a}$-1，
①若$\frac{1}{2a}$-1≤0，即a≥$\frac{1}{2}$，在區(qū)間（0，+∞）上，g′（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）≥0，當且僅當x=0時等號成立，此時不滿足條件，
②若$\frac{1}{2a}$-1＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$-1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（$\frac{1}{a}$）=lg（1+$\frac{1}{a}$）＞0，此時不滿足條件，
（3）當a＜0時，由g′（x）=$\frac{[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
∴2ax+（2a-1）＜1，
∴g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）_max=g（0）=0，滿足條件，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．