Question

觀察如圖三角形數(shù)表：
假設(shè)第n行的第二個數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次寫出第六行的所有6個數(shù)字；
（Ⅱ）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式并求出a_n的通項公式．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，得到第六行的所有6個數(shù)字．
（2）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答：解：（Ⅰ）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，
得到第六行的所有6個數(shù)字分別為：6，16，25，25，16，6．
（Ⅱ）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以：a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=

(n+1)(n-2)

2

，
所以a_n=

n2

2

-

n

2

+1，（n＞2）
當(dāng)n=2時a₂=

1

2

×2²-

1

2

×2+1=2，也滿足上述等式，
故a_n=

n2

2

-

n

2

+1．

點評：本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，還考查了數(shù)列間的關(guān)系，入題較難，知識點，方法活，屬中檔題．