【題目】已知函數(shù) .
(1)當a=1時,判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當a=1時,f'(x)= ,f(x)在定義域 (﹣1,+∞)
∴f'(x)在(﹣1,0)上為減函數(shù),在 (0,+∞)上為增函數(shù),
∴函數(shù)的減區(qū)間為(﹣1,0),增區(qū)間為(0,+∞)
(2)解:①當a≥1時,由于x∈[0,+∞),
∴ ,
所以滿足f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),即a≥1;
②當0<a<1時,f'(x)=aln(x+1)+ +ax﹣2,
f'(x)= ,由方程ax2+3ax+2a﹣2=0的判別式:
△=a2+8a>0,所以方程有兩根x1,x2,且由 ,
∴x1<0<x2,
∴f'(x)在[0,x2]上為減函數(shù),由f'(0)=0可知,在x∈[0,x2]時,f'(x)<0,
這與 f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾.
③當a≤0時,∵ ,
∴f″(x)= <0,
∴f'(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),由f'(0)=0可知,
在x∈(0,+∞)時,f'(x)<0,
這與 f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾,
綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是[0,+∞)
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)通過討論a的范圍,求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定a的范圍即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等邊三角形,且AA1⊥底面ABC,M為AA1的中點,N在線段AB上,且AN=2NB,點P在CC1上.
(1)證明:平面BMC1⊥平面BCC1B1;
(2)當 為何值時,有PN∥平面BMC1?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的值域為.
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷此函數(shù)在的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;
(3)求出在上的最小值,并求的值域.
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【題目】在直角坐標系xOy,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).在以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系中,曲線C:ρ=4sinθ.
(1)當m=﹣1,α=30°時,判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;
(2)當m=1時,若直線與曲l線C相交于A,B兩點,設P(1,0),且||PA|﹣|PB||=1,求直線l的傾斜角.
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【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A.命題“若,則”為假命題
B.命題“若,則”的否命題為假命題
C.命題“若,則方程有實根”的逆命題為真命題
D.命題“若,則”的逆否命題為真命題
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【題目】閱讀下面材料:在計算時,我們發(fā)現(xiàn),從第一個數(shù)開始,后面每個數(shù)與它的前面?zhèn)數(shù)的差都是一個相等的常數(shù),具有這種規(guī)律的一列數(shù),除了直接相加外,我們還可以用下面的公式來計算它們的和,(其中:表示數(shù)的個數(shù),表示第一個數(shù),表示最后一個數(shù))),那么,利用或不利用上面的知識解答下面的問題:某集團總公司決定將下屬的一個分公司對外招商承包,有符合條件的兩家企業(yè)A、B分別擬定上繳利潤,方案如下:A:每年結(jié)算一次上繳利潤,第一年上繳利潤100萬元,以后每年比前一年增加100萬元;B:每半年結(jié)算一次上繳利潤,第一個半年上繳利潤30萬元,以后每半年比前半年增加30萬元;
(1)如果承包4年,你認為應該承包給哪家企業(yè),總公司獲利多?
(2)如果承包年,請用含的代數(shù)式分別表示兩家企業(yè)上繳利潤的總金額,請問總公司應該如何在承包企業(yè)A、B中選擇?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,左、右焦點分別為圓F1、F2 , M是C上一點,|MF1|=2,且| || |=2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時,線段AB上取點Q,且Q滿足| || |=| || |,證明點Q總在某定直線上,并求出該定直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)當a=0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當b=﹣1時,若f(x)>0對任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點,圓O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點,與底邊上的高交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.
(1)(I)證明EF//BC
(2)(II)若AG等于圓O半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積
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