Question

在數列{a_n}中，設a₁為首項，其前n項和為S_n，若對任意的正整數m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，且2S₆＞S₃．
（Ⅰ）設{a_n}為等差數列，且公差為d，求a₁和d的取值范圍；
（Ⅱ）設{a_n}為等比數列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a₁和q 的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據已知條件，由于數列是等差數列建立不等式，進一步求出相應的結果．
（Ⅱ）根據已知條件，由于數列是等比數列建立不等式，進一步求出相應的結果．

解答： 解：（Ⅰ）在數列{a_n}中，設a₁為首項，其前n項和為S_n，若對任意的正整數m、n都有不等式
S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，設{a_n}為等差數列，且公差為d，
則：2ma1+

2m(2m-1)

2

d+2na1+

2n(2n-1)

2

d＜2[(m+n)a1+

(m+n)(m+n-1)

2

d]
整理得：（m-n）²d＜0
則：d＜0
由2S₆＞S₃
整理得：9a₁+27d＞0
則：a₁＞-3d
所以：d＜0，a₁＞-3d
（Ⅱ）在數列{a_n}中，設a₁為首項，其前n項和為S_n，若對任意的正整數m、n都有不等式
S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，設{a_n}為等比數列，且公比為q（q＞0且q≠1），
則：

a1(1-q2m)

1-q

+

a1(1-q2n)

1-q

＜

2a1(1-qm+n)

1-q

整理得：

a1

1-q

(2qm+n-q2m-q2n)＜0
則：-

a1

1-q

(qm-qn)2＜0
所以：

a1

1-q

＞0
由2S₆＞S₃
則：2q⁶-q³-1＜0
解得：-

1

2

＜q3＜1
由于q＞0
所以：0＜q＜1
則：a₁＞0

點評：本題考查的知識要點：等差數列和等比數列前n項和公式的應用，和相關的運算問題．屬于中等題型．