Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(logax)=

a

1-a2

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值集合；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(logax)=

a

1-a2

(x-x-1)，我們可以利用換元法求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而判斷出函數(shù)的奇偶性，和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)我們可以將不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0化成一個(gè)關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可得到答案．
（2）若當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）+3＞0恒成立，故我們可將f（x）+3＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于a的不等式恒成立問(wèn)題，解答后，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
∴f(x)=

a

1-a2

(at-a-t)…（2分）
∴f(x)=

a

1-a2

(ax-a-x)∴f(-x)=

a

1-a2

(a-x-ax)=-

a

1-a2

(ax-a-x)=-f(x)
即y=f（x）為奇函數(shù)------…（2分）
∵f′(x)=

a

1-a2

(ax+a-x)lnaa＞1時(shí)  

a

1-a2

＜0，lna＞0
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數(shù)0＜a＜1時(shí)∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數(shù)
綜上f（x）為定義域上減函數(shù)…（2分）
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m²）∴奇函數(shù)∴f（1-m）＜f（m²-1）
∵減函數(shù)∴

1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

∴0＜m＜1…（2分）
（2）∵y=f（x）為減函數(shù)∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)…（2分）
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0

a

1-a2

•

a4-1

a2

+3=

-(a2+1)

a

+3≥0…（1分）
∴

3- 5

2

≤a≤

3+ 5

2

，a≠1…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，其中熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，將題目中的不等式轉(zhuǎn)化為熟知的不等式式并進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．