給定函數(shù)

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)已知各項均為負的數(shù)列{an}滿足，求證：；

(3)設(shè)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：．

答案：
解析：

　　(1)的定義域為　　1分(此處不寫定義域，結(jié)果正確不扣分)

　　　　3分

　　由得或

　　單調(diào)減區(qū)間為和　　5分(答案寫成(0，2)扣1分；不寫區(qū)間形式扣1分)

　　(2)由已知可得，當(dāng)時，

　　兩式相減得

　　∴或

　　當(dāng)時，，若，則這與題設(shè)矛盾

　　∴　∴　　8分

　　于是，待證不等式即為．

　　為此，我們考慮證明不等式

　　令則，

　　再令，　由知

　　∴當(dāng)時，單調(diào)遞增　∴　于是

　　即�、�

　　令，　由知

　　∴當(dāng)時，單調(diào)遞增　∴　于是

　　即　　②

　　由①、②可知　　10分

　　所以，，即　　11分

　　(3)由(2)可知　則　　12分

　　在中令n＝1，2，3……2010，2011并將各式相加得

　　　　13分

　　即　　14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=f（x）（x∈D），對任意x，y，
x+y
2
∈D均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大�。�
（2）給定兩個函數(shù)：f1(x)=
1
x
(x＞0)，f2（x）=logax（a＞1，x＞0）．證明：f1（x）∉M，f2（x）∈M．
（3）試利用（2）的結(jié)論解決下列問題：若實數(shù)m、n滿足2m+2n=1，求m+n的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x+1-aa-x
，a∈R．利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{xn}，方法如下：對于定義域中給定的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n∈N*），…如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{xn}．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若x1=1，求（x1+1）（x2+1）…（xn+1）的值；
（3）設(shè)Tn=（x1+1）（x2+1）…（xn+1）（n∈N*），試問：是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應(yīng)的x1的值；若不存在，請說明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），若存在開區(qū)間D，同時滿足：①存在t∈D，當(dāng)x＜t時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞t時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；②對任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），則稱y=f（x）為D內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)y=|logax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”；
（2）若D內(nèi)的“勾函數(shù)”y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=g′（x），y=g（x）在D內(nèi)有兩個零點x1，x2，求證：g′(
x1+x2
2
)＞0；
（3）對于給定常數(shù)λ，是否存在m，使函數(shù)h（x）=
1
3
λx3-
1
2
λ2x2-2λ3x+1在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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