Question

11．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$]，求${∫}_{0}^{α}$（cosx-sinx）dx的最大值及取得最大值時α的值．

Answer 1

分析 首先求出定積分對應(yīng)的函數(shù)，然后等價變形，利用正弦函數(shù)的有界性求最值．

解答 解：${∫}_{0}^{α}$（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）|${\;}_{0}^{α}$=sinα+cosα-1=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）-1；
α∈（0，$\frac{π}{2}$]，所以$α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
所以當(dāng)$α+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{4}$時，$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）-1取最大值為$\sqrt{2}-1$；

點評 本題考查了定積分的計算以及三角函數(shù)的值域求法；關(guān)鍵是正確求出定積分對應(yīng)的函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性求最值．