Question

已知f(x)=

sin(x-3π)•cos(2π-x)•sin(-x+ 3π 2 )

cos(-x-π)•cos( π 2 -x)

（1）若x是第三象限的角，且sin（-x-π）=-

4

5

，求f（x）的值．
（2）求函數(shù)y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，得f（x）=-cosx．再由sin（-x-π）=-

4

5

得sinx=-

4

5

，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合x是第三象限的角，算出f（x）=-cosx=

3

5

；
（1）由f（x）表達(dá)式，結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，得y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1═-2（sinx-

1

4

）²+

25

8

，再由二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合sinx∈[-1，1]，即可算出所求函數(shù)的值域．

解答：解：根據(jù)題意，得
f(x)=

sin(x-3π)•cos(2π-x)•sin(-x+ 3π 2 )

cos(-x-π)•cos( π 2 -x)

=

-sinx•cosx•sin(-x- π 2 )

-cosx•sinx

=sin（-x-

π

2

）=-sin（

π

2

-x）=-cosx
（1）∵x是第三象限的角，且sin（-x-π）=-

4

5

，
∴sinx=-

4

5

，可得cosx=-

1-sin2x

=-

3

5

，
由此可得f（x）=-cosx=

3

5

；
（2）函數(shù)y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1=2cos²x-cos（

π

2

+x）+1
即y=2cos²x+sinx+1=-2（sinx-

1

4

）²+

25

8

∵sinx∈[-1，1]，
∴當(dāng)sinx=

1

4

時(shí)，函數(shù)的最大值為

25

8

；當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)的最小值為0
因此，函數(shù)y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1的值域?yàn)閇0，

25

8

]

點(diǎn)評：本題題將一個(gè)三角函數(shù)式化簡，求特殊函數(shù)值并求另一函數(shù)的值域．著重考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．