Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）²．
（Ⅰ）若f（x+1）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上有最小值9，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
∵函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，∴二次函數(shù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1．----------（2分）
∴直線(xiàn)x=

a

3

即直線(xiàn)x=1，解之得a=3；-----------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

a

3

對(duì)稱(chēng)
①當(dāng)

a

3

＜0即a＜0時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，可得
最小值為fmin(x)=f(0)=a2=9，解之得a=-3------------（6分）
②當(dāng)0≤

a

3

≤1即0≤a≤1時(shí)，函數(shù)最小值為fmin(x)=f(

a

3

)=

2

3

a2=9，矛盾----------（8分）
③當(dāng)

a

3

＞1即a＞1時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，可得
最小值為fmin(x)=f(1)=3-2a+a2=9，解之得a=1+

7

（舍負(fù)）----------（10分）
綜上所述，滿(mǎn)足條件的a值為-3或a=1+

7

．--------------------------（12分）