19.如圖,己知三棱錐P-ABC,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB=$\sqrt{2}$,D為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB⊥PC;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面PAD的距離.

分析 (Ⅰ)取AB中點(diǎn)E,連接PE、CE,證明AB⊥平面PEC,即可證明:AB⊥PC;
(Ⅱ)利用VB-PAD=VP-ABD,求點(diǎn)B到平面PAD的距離.

解答 (I)證明:取AB中點(diǎn)E,連接PE、CE,
∵PB=PA,∴AB⊥PE,
∵AC=BC,∴AB⊥CE…(2分)
又∵PE∩CE=E,∴AB⊥平面PEC…(4分)
又∵PC?平面PEC,∴AB⊥PC…(6分)
(II)解:過(guò)E作EF⊥AD于F,連接PF,
∵平面PAB⊥平面ABC且PE⊥AB,
∴PE⊥平面ABC
∴PE⊥AD 
又EF⊥AD,PE∩EF=E
∴AD⊥平面PEF
∴PF⊥AD
∵D為正三角形ABC邊BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC.
又EF⊥AD,∴EF∥BC,∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$
在△PAB中,AB=2,PB=PA=$\sqrt{2}$,∴PE=1
∴PF=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴S△PAD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…(9分)
設(shè)B到平面PAD的距離為h,VB-PAD=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}h$=$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h$
三棱錐P-ABD的體積VP-ABD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…(11分)
∵VB-PAD=VP-ABD,∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$,
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查三棱錐體積的計(jì)算,正確求體積是關(guān)鍵.

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