Question

如圖，已知（q≠0）與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=BO，BC∥x軸．
（1）求p和q的值；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（點E在點D的右上方），，過D作y軸的平行線，交拋物線于F．
①設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，△EDF的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②又過點E作y軸的平行線，交拋物線于G，試問能不能適當(dāng)選擇點D的位置，使四邊形DFGE是平行四邊形？如果能，求出此時點D的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得C（0，q），又由BC∥x軸，且點B在直線y=x上，可求得點B的坐標(biāo)，由OA=BO知，點A、B關(guān)于原點對稱，求得點A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，即可求得p和q的值與此二次函數(shù)的解析式；
（2）①由點D直線x=t和y=x上，可求得點D的坐標(biāo)，而點F在直線x=t上，又在拋物線y=x²+x-2上，即可得點F的坐標(biāo)，然后過點E作EH⊥DF的延長線于H，由DE=可知，EH=1，S=DF•EH，即可求得答案；
②易知E（t+1，t+1），而點G在直線x=t+1上，又在拋物線y=x²+x-2上，即可知點G的坐標(biāo)與EG的長，若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即可求得t的值，則可得滿足條件的點D存在，其坐標(biāo)為（-，-）．
解答：解：（1）由題意得C（0，q），
∵BC∥x軸，且點B在直線y=x上，
由y=x²+px+q，可知，點B的坐標(biāo)為（q，q），
由OA=BO知，點A、B關(guān)于原點對稱，
∴點A的坐標(biāo)為（-q，-q），
∴，
解得：p=1，q=-2，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2；

（2）①∵點D直線x=t和y=x上，
由（1）可知道點D的坐標(biāo)為（t，t），
而點F在直線x=t上，又在拋物線y=x²+x-2上，
∴點F的坐標(biāo)為（t，t²+t-2），
過點E作EH⊥DF的延長線于H，由DE=可知，EH=1，
DF=t-（t²+t-2）=-t²+2，
∴S=DF•EH=（-t²+2）×1=-t²+1．
解方程組：，
解得：，
∴點A（2，2），B（-2，-2），
∴t的取值范圍為-2＜t＜1，且當(dāng)t=0時，S有最大值1．
②易知E（t+1，t+1），而點G在直線x=t+1上，又在拋物線y=x²+x-2上，
可知點G的坐標(biāo)為（t+1，（t+1）²+（t+1）-2），
∴EG=（t+1）-[（t+1）²+（t+1）-2]=-t²-t-，
若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即-t²-t-=-t²+2，
解得：t=-．
∴滿足條件的點D存在，其坐標(biāo)為（-，-）．
點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．