Question

若圓x²+y²=r²（r＞0）上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  2

  -1)
• B．(

  2

  -1，

  2

  +1)
• C．(

  2

  +1，+∞)
• D．(0，

  2

  +1)

Answer 1

分析：到已知直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與x²+y²=r²有4個(gè)公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得r的取值范圍．

解答：解：作出到直線x-y-2=0的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線x-y-2=0平行，
且到直線x-y-2=0的距離等于1的兩條直線，
∵圓x²+y²=r²的圓心為原點(diǎn)，
原點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為d=

|0-0-2|

2

=

2

，
∴兩條平行線中與圓心O距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為d'=

2

+1，
又∵圓x²+y²=r²（r＞0）上有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1，
∴兩條平行線與圓x²+y²=r²有4個(gè)公共點(diǎn)，即它們都與圓x²+y²=r²相交．
由此可得圓的半徑r＞d'，
即r＞

2

+1，實(shí)數(shù)r的取值范圍是(

2

+1，+∞)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知圓上有四點(diǎn)到直線的距離等于半徑，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．