Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點，記直線AB的斜率為k，試問：是否存在，使得f′（x₀）=k，請說明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-ax+（a-1）==（x＞0），
①若-1＜a＜0，則-＞1，當(dāng)0＜x＜1或x＞-時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x＜-時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
②若a=-1，則-=1，此時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若a＜-1，則-＜1，當(dāng)0＜x＜-或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)-1＜a＜0時，f（x）的增區(qū)間是（0，1），（-，+∞），減區(qū)間是（1，-）；
當(dāng)a=-1時，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜-1時，f（x）的增區(qū)間是（0，-），（1，+∞），減區(qū)間是（-，1）．
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=lnx₁-+（a-1）x₁，，
k_AB==，
=-（x₂+x₁）+（a-1），
f′（x₀）=f′（）=-a•+（a-1），
依題意得，f′（）=-a•+（a-1）=-（x₂+x₁）+（a-1），
化簡可得，=，即ln==，
設(shè)（t＞1），上式化為lnt==2-，
lnt+=2，令g（t）=lnt+，g′（t）=-=，
因為t＞1，顯然g′（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g(shù)（t）＞2恒成立，所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+=2成立，
綜上所述，假設(shè)不成立，所以不存在，使得f′（x₀）=k．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，需要對參數(shù)a進行討論；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，f′（x₀）=k，即f′（）=-a•+（a-1）=-（x₂+x₁）+（a-1），化簡然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題可判斷．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及運用導(dǎo)數(shù)研究存在性問題，考查分析問題解決問題的能力，屬綜合題，難度較大．